Les trois identités remarquables
Une identité remarquable, c'est un développement qu'on connaît par cœur,
pour ne pas avoir à le refaire à chaque fois. Il y en a trois, au programme de
3e, et on les retrouve au brevet. Dans chacune,
a et b sont les deux morceaux de la parenthèse.
(a + b)^2 = a^2 + 2×a×b + b^2
(a − b)^2 = a^2 − 2×a×b + b^2
(a + b)(a − b) = a^2 − b^2
Les deux premières se ressemblent : même début, même fin. Seul le signe du
milieu change, et c'est le signe de la parenthèse. La troisième n'a pas de
terme du milieu : c'est la plus courte.
La méthode, en trois étapes
Étape 1 — repérer a et b. On regarde la parenthèse : le premier
morceau joue le rôle de a, le second joue le rôle de b. Quand un morceau
est 3x, c'est tout 3x qui est a, pas seulement le 3.
Étape 2 — écrire la formule avec a et b remplacés par ce qu'on a
repéré, sans rien calculer encore.
Étape 3 — calculer chaque morceau. Le carré de a, le double
produit 2×a×b, le carré de b.
Cas 1 · (a + b)^2 : le carré d'une somme
Développer (3x + 5)^2 : La parenthèse est une somme : c'est la première identité, celle avec deux
+.
Cas 1
① Repérer a et b
(3x + 5)^2
a = 3x b = 5
② Écrire la formule
(a + b)^2 = a^2 + 2×a×b + b^2
(3x + 5)^2 = (3x)^2 + 2×3x×5 + 5^2
③ Calculer chaque morceau
(3x)^2 = 9x^2
2×3x×5 = 30x
5^2 = 25
(3x + 5)^2 = 9x^2 + 30x + 25
→ (
3x)
^2 vaut 9
x^2 : le carré porte sur le 3
et sur le
x.
Cas 2 · (a − b)^2 : le carré d'une différence
Développer (3x − 5)^2 : La parenthèse est une différence : c'est la deuxième identité. Un seul signe change, celui du milieu.
Cas 2
① Repérer a et b
(3x − 5)^2
a = 3x b = 5
② Écrire la formule
(a − b)^2 = a^2 − 2×a×b + b^2
(3x − 5)^2 = (3x)^2 − 2×3x×5 + 5^2
③ Calculer chaque morceau
(3x)^2 = 9x^2
2×3x×5 = 30x
5^2 = 25
(3x − 5)^2 = 9x^2 − 30x + 25
→ Le dernier morceau reste
+ 25 :
b^2 est un carré, il est toujours positif. Seul le double produit prend le
−.
Cas 3 · (a + b)(a − b) : la différence de deux carrés
Développer (3x + 5)(3x − 5) : Deux parenthèses, les mêmes morceaux, un
+ dans l'une et un
− dans l'autre : c'est la troisième identité.
Cas 3
① Repérer a et b
(3x + 5)(3x − 5)
a = 3x b = 5
② Écrire la formule
(a + b)(a − b) = a^2 − b^2
(3x + 5)(3x − 5) = (3x)^2 − 5^2
③ Calculer chaque morceau
(3x)^2 = 9x^2
5^2 = 25
(3x + 5)(3x − 5) = 9x^2 − 25
→ Pas de double produit : les deux termes du milieu s'annulent. Le résultat n'a que deux morceaux.
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