Accueil › Réviser › 3ème › Factoriser une expression en 3ème : la méthode qui marche à tous les coups

Factoriser

Factoriser, c'est transformer une somme en produit

Factoriser est l'opération inverse de développer. On part d'une somme de termes et on la réécrit comme un produit, en mettant en évidence ce que les termes ont en commun.

A =3x + 15  — une somme
=3×x + 3×5  — on décompose
=3(x + 5)  — un produit

Le 3 apparaît dans les deux termes : c'est le facteur commun. On le sort devant la parenthèse, et ce qui reste de chaque terme s'écrit à l'intérieur.

ab + ac = a(b + c)

La première question à se poser est toujours la même : qu'est-ce qui est commun aux deux termes ?

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Le facteur commun est un nombre

Facteur commun numérique :

On décompose chaque terme pour trouver le facteur commun :

3x + 15 = 3×x + 3×5 = 3(x + 5)
3x − 15 = 3×x − 3×5 = 3(x − 5)

→ Le 3 est commun, on le met devant la parenthèse.

Le facteur commun est x

Facteur commun x :

On décompose pour faire apparaître le x commun :

8x² + 5x = 8×x×x + 5×x = x(8x + 5)
8x² − 5x = 8×x×x − 5×x = x(8x − 5)

→ Le x est commun, on le met devant la parenthèse.

Le facteur commun est une parenthèse

Facteur commun expression (somme) :

On repère l'expression commune dans les deux termes :

(x+5)(7x−1) + (4x+2)(7x−1)
= (7x−1) [ x+5 + 4x+2 ]
= (7x − 1)(5x + 7)

→ On met le facteur commun devant, on additionne le reste entre crochets.

Le piège du signe et du carré

Attention au signe − et au carré :

Avec un − entre les deux termes : les signes changent dans le crochet !
(3x−4)(x+6) − (3x−4)(8x−2)
= (3x−4) [ x+6 − (8x−2) ]
= (3x−4) [ x+6 −8x +2 ]
= (3x − 4)(−7x + 8)

Avec un carré : (a)² = (a)(a), puis on factorise normalement.
(9x+2)² + (3x+1)(9x+2)
= (9x+2)(9x+2) + (3x+1)(9x+2)
= (9x + 2)(12x + 3)

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Questions fréquentes

Quelle différence entre factoriser et développer ?
Développer transforme un produit en somme. Factoriser fait l'inverse : d'une somme, on retrouve un produit. Les deux expressions restent égales pour toute valeur de x.
Comment trouver le facteur commun ?
On cherche ce qui apparaît dans tous les termes : un nombre, une lettre, ou une parenthèse entière. Si rien n'est commun, il faut d'abord décomposer, par exemple écrire 8x² comme 8 × x × x.
Que devient le signe moins devant une parenthèse qu'on factorise ?
Il inverse tous les signes de ce qui reste dans le crochet. C'est l'erreur la plus fréquente : −(8x − 2) donne −8x + 2, pas −8x − 2.
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