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Résoudre une équation en 3e : premier degré et produit nul

Résoudre une équation, c'est isoler x

Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de x qui rend l'égalité vraie. Pour une équation du premier degré, on isole x : on défait, une à une, les opérations qui l'entourent, en appliquant à chaque fois l'opération inverse.

x + 5 = 12  — on a ajouté 5 à x
x = 12 − 5  — le 5 change de côté : il se soustrait
x = 7  — x est isolé

Le 5 était ajouté à x. En passant de l'autre côté du signe =, il devient soustrait. Un nombre qui change de côté change d'opération : toute la résolution repose sur cette idée, avec deux paires d'opérations inverses.

x + a = b  →  x = b − a

ax = b  →  x = b/a

La première question à se poser est toujours la même : qu'est-ce qu'on a fait à x ? On lui a ajouté un nombre ? On l'a multiplié ? La réponse dit quelle opération inverse appliquer.

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Un nombre est ajouté ou soustrait à x

Addition ↔ Soustraction :

Le nombre ajouté à x passe de l'autre côté du = et se retrouve soustrait — et inversement.

Cas 1
x + 5 = 12
x = 12 − 5
x = 7
S = { 7 }
Cas 2
x − 3 = 10
x = 10 + 3
x = 13
S = { 13 }


→ On vérifie dans l'équation de départ : 7 + 5 = 12 et 13 − 3 = 10.

x est multiplié par un nombre

Multiplication ↔ Division :

Le nombre collé à x le multiplie. Il passe de l'autre côté au dénominateur.

Cas 1
4x = 12
x = 12/4
x = 3
S = { 3 }
Cas 2
3x = 2
x = 2/3
S = { 2/3 }


→ Quand le résultat n'est pas entier, on garde la fraction : c'est la réponse exacte.

Un nombre multiplie x, un autre s'ajoute

Les deux à la fois : dans l'ordre inverse :

Le nombre ajouté (ou soustrait) part en premier, le nombre qui multiplie x part en dernier.

Cas 1
3x + 5 = 20
3x = 20 − 5
3x = 15
x = 15/3
x = 5
S = { 5 }
Cas 2
2x − 7 = 1
2x = 1 + 7
2x = 8
x = 8/2
x = 4
S = { 4 }


→ Dans 3x + 5, le + 5 a été fait en dernier sur x : on l'enlève en premier.

Il y a des x des deux côtés

x des deux côtés :

On rassemble les x à gauche et les nombres à droite. Chaque terme qui change de côté change d'opération.

Cas 1
5x + 3 = 2x + 12
5x − 2x = 12 − 3
3x = 9
x = 9/3
x = 3
S = { 3 }
Cas 2
2x + 9 = 5x
2x − 5x = − 9
−3x = −9
x = −9/−3
x = 3
S = { 3 }


→ Le nombre qui multiplie x garde son signe : −3 passe au dénominateur avec son −.

Il y a des parenthèses

Avec des parenthèses :

On développe d'abord, pour retrouver une équation sans parenthèses. Ensuite, même méthode.

Cas 1
4(x − 2) = 2x + 6
4×x − 4×2 = 2x + 6
4x − 8 = 2x + 6
4x − 2x = 6 + 8
2x = 14
x = 14/2
x = 7
S = { 7 }
Cas 2
3(x + 1) = 5(x − 3)
3×x + 3×1 = 5×x − 5×3
3x + 3 = 5x − 15
3x − 5x = − 15 − 3
−2x = −18
x = −18/−2
x = 9
S = { 9 }


→ Avant de faire passer quoi que ce soit, on développe : 4(x − 2) = 4×x − 4×2 = 4x − 8.

L'équation produit nul

Produit nul :

Un produit est nul quand l'un de ses facteurs est nul. On prend chaque facteur, on l'écrit = 0, et on résout les deux petites équations séparément.

Cas 1
(x + 3)(2x − 8) = 0
x + 3 = 0
x = 0 − 3
x = −3
ou
2x − 8 = 0
2x = 0 + 8
2x = 8
x = 8/2
x = 4

S = { −3 ; 4 }
Cas 2
3x(x − 7) = 0
3x = 0
x = 0/3
x = 0
ou
x − 7 = 0
x = 0 + 7
x = 7

S = { 0 ; 7 }


→ Deux facteurs, deux petites équations, deux solutions. Si l'équation n'est pas déjà écrite comme un produit, on commence par factoriser : c'est tout le chapitre Factoriser.

Les 2 erreurs à éviter

Les 2 erreurs :

Erreur 1 — prendre un nombre qui multiplie pour un nombre qui se soustrait.
Dans −2x, le −2 est collé à x : il le multiplie. Il ne passe pas de l'autre côté en + 2, il passe au dénominateur.

−2x = 0
x = 0/−2
x = 0
S = { 0 }


→ 0 divisé par −2, c'est 0 : l'équation a bien une solution, et c'est 0.

Erreur 2 — oublier le nombre caché devant x.
Un signe − tout seul devant x, c'est un coefficient −1 : on l'écrit avant de le faire passer.

4 − x = 0
−x = 0 − 4
(−1)x = −4
x = −4/−1
x = 4
S = { 4 }


→ La solution est 4, pas −4.

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Questions fréquentes

Comment résoudre une équation du premier degré ?
On isole x en défaisant, une à une, les opérations qui l'entourent. Un nombre qui change de côté du signe = change d'opération : ajouté, il devient soustrait ; multiplié, il devient diviseur. On commence par les nombres ajoutés ou soustraits, on termine par le nombre qui multiplie x.
Comment savoir si un nombre s'ajoute à x ou le multiplie ?
Un nombre séparé de x par un + ou un − s'ajoute ou se soustrait : il change de côté avec le signe contraire. Un nombre collé à x, comme le 3 de 3x ou le −2 de −2x, le multiplie : il passe de l'autre côté au dénominateur.
Qu'est-ce qu'une équation produit nul ?
C'est une équation de la forme A × B = 0. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : on résout donc A = 0 et B = 0 séparément, et l'équation a en général deux solutions. Si elle n'est pas écrite comme un produit, il faut d'abord la factoriser.
Comment vérifier qu'une solution est juste ?
On remplace x par la valeur trouvée dans l'équation de départ, et on calcule chaque côté séparément. Si les deux côtés donnent le même nombre, la solution est juste. Pour 3x + 5 = 20 et x = 5 : 3 × 5 + 5 = 20.
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