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Développer une expression : la méthode en 3e

Développer, c'est transformer un produit en somme

Dans 3(x + 5), le 3 multiplie toute la somme x + 5.

On peut donc distribuer ce 3 à chacun des deux termes :

A =3(x + 5)
=3 × x + 3 × 5
=3x + 15

On obtient une expression égale à celle de départ, mais écrite sous la forme d'une somme.

a(b + c) = ab + ac

C'est ce passage d'un produit à une somme que l'on appelle développer.

A_COMPLETER. Libre d'accès.

La simple distributivité (facteur positif)

On multiplie le facteur par chaque terme dans la parenthèse :

A =+3(5x + 2)
=3×5x + 3×2
=15x + 6
B =+3(5x − 2)
=3×5x + 3×(−2)
=15x − 6

Distributivité avec facteur négatif

A =−3(5x + 2)
=−3×5x −3×2
=−15x − 6
B =−3(5x − 2)
=−3×5x −3×(−2)
=−15x + 6

⚠️ négatif × négatif = positif !

Rappel — règle des signes

A =+ × +
=+    + × −
=−
B =− × +
=−    − × −
=+

La double distributivité

A =(2x +5)(3x +1)
=2x×3x + 2x×1 + 5×3x + 5×1
B =
=6x² + 2x + 15x + 5
=6x² + 17x + 5

On regroupe les termes en x surlignés en jaune.

Double distributivité — signes mélangés

(2x − 5)(3x + 1)

A =
=2x×3x + 2x×1 − 5×3x − 5×1
B =
=6x² + 2x − 15x − 5
=6x² − 13x − 5

Signes devant les parenthèses

+ devant → on enlève les parenthèses, rien ne change

A =   3 + (5x − 1)
=3 + 5x − 1

− devant → tous les signes changent !

B =   3 − (5x − 1)
=3 − 5x + 1

Récapitulatif — tous les cas

1. Simple distributivité : +k(...) ou −k(...) → distribuer sur chaque terme

2. Double distributivité : (...)(...) → 4 produits, regrouper les x

3. Signes : +(...) → rien ne change  |  −(...) → tout change

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Questions fréquentes

Quelle différence entre développer et factoriser ?
Développer transforme un produit en somme. Factoriser fait l'inverse : d'une somme, on retrouve un produit. Les deux expressions restent égales pour toute valeur de x.
Pourquoi le signe moins change tous les signes de la parenthèse ?
Parce que −(x − 3) revient à multiplier par −1 : (−1) × x = −x et (−1) × (−3) = +3. Chaque terme est multiplié, donc chaque signe est inversé.
Combien de produits dans une double distributivité ?
Quatre, toujours. Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. On réduit ensuite les termes semblables.
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