Une équation du second degré, c'est une équation où l'inconnue x est au
carré. Elle s'écrit toujours sous la même forme, avec trois nombres : un devant
x^2, un devant x, et un tout seul.
ax^2 + bx + c = 0
Avant tout calcul, on repère ces trois nombres, avec leur signe. Un −
devant un nombre fait partie du nombre. Et quand il n'y a rien d'écrit devant
x^2 ou devant x, le nombre est 1 : on l'écrit, pour ne pas l'oublier.
La méthode, en trois étapes
Étape 1 — calculer le discriminant. C'est un nombre qu'on calcule à
partir de a, b et c. On le note Δ, « delta ».
Δ = b^2 − 4×a×c
Étape 2 — regarder le signe de Δ. Positif, nul ou négatif : il y a
trois cas, et rien d'autre. C'est lui qui dit combien l'équation a de solutions.
Δ > 0 → 2 solutions distinctes
Δ = 0 → 1 solution
Δ < 0 → pas de solution dans ℝ
Étape 3 — calculer les solutions. Deux formules qui ne diffèrent que
par un signe quand Δ est positif ; une seule quand Δ est nul ; rien à calculer
quand Δ est négatif.
x₁ = (−b − √Δ)/(2×a)x₂ = (−b + √Δ)/(2×a)
x₀ = −b/(2×a)
Trois équations, une pour chaque cas. Chacune est résolue de bout en bout,
dans l'ordre des trois étapes.
Cas 1 · Δ > 0 : 2 solutions distinctes
Résoudre x^2 + x − 2 = 0 :
Le discriminant est positif : l'équation a 2 solutions distinctes, qu'on calcule l'une après l'autre.
Cas 1 ① Repérer a, b et c 1x^2 + 1x− 2 = 0 a = 1b = 1c = −2
On repère a, b et c dans ax^2 + bx + c = 0, on calcule le discriminant
Δ = b^2 − 4ac, puis on regarde son signe : 2 solutions distinctes si Δ > 0,
une seule si Δ = 0, aucune si Δ < 0. Les solutions se calculent avec
x₁ = (−b − √Δ)/2a et
x₂ = (−b + √Δ)/2a.
Qu'est-ce que le discriminant ?
C'est le nombre Δ = b^2 − 4ac, calculé à partir des trois nombres a, b
et c de l'équation. On ne l'utilise que pour une chose : son signe donne le
nombre de solutions de l'équation.
Que faire quand le discriminant est négatif ?
Rien à calculer : la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.
L'équation n'a pas de solution dans ℝ, et on l'écrit S = ∅. C'est une réponse
complète, pas un calcul raté.
Pourquoi une seule solution quand Δ = 0 ?
Parce que la racine carrée de 0 vaut 0 : les deux formules de x₁ et
x₂ donnent alors le même nombre. Cette solution unique s'appelle
x₀, et vaut −b/2a.
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