2nd Factoriser
Exercice Factoriser — Entraînement progressif
Cas 1 / 4
💡 Facteur commun numérique :
On décompose chaque terme pour trouver le facteur commun :
3\(x\) + 15 = 3×\(x\) + 3×5 = 3(\(x\) + 5)
3\(x\) − 15 = 3×\(x\) − 3×5 = 3(\(x\) − 5)
→ Le 3 est commun, on le met devant la parenthèse.
On décompose chaque terme pour trouver le facteur commun :
3\(x\) + 15 = 3×\(x\) + 3×5 = 3(\(x\) + 5)
3\(x\) − 15 = 3×\(x\) − 3×5 = 3(\(x\) − 5)
→ Le 3 est commun, on le met devant la parenthèse.
Factorise :
a) 2\(x\) + 10 =
b) 5\(x\) + 20 =
c) 4\(x\) − 12 =
d) 7\(x\) − 21 =
e) 6\(x\) + 18 =
f) 9\(x\) − 45 =
Cas 2 / 4
💡 Facteur commun \(x\) :
On décompose pour faire apparaître le \(x\) commun :
8\(x\)² + 5\(x\) = 8×\(x\)×\(x\) + 5×\(x\) = \(x\)(8\(x\) + 5)
8\(x\)² − 5\(x\) = 8×\(x\)×\(x\) − 5×\(x\) = \(x\)(8\(x\) − 5)
→ Le \(x\) est commun, on le met devant la parenthèse.
On décompose pour faire apparaître le \(x\) commun :
8\(x\)² + 5\(x\) = 8×\(x\)×\(x\) + 5×\(x\) = \(x\)(8\(x\) + 5)
8\(x\)² − 5\(x\) = 8×\(x\)×\(x\) − 5×\(x\) = \(x\)(8\(x\) − 5)
→ Le \(x\) est commun, on le met devant la parenthèse.
Factorise :
a) 3\(x\)² + 7\(x\) =
b) 5\(x\)² − 2\(x\) =
c) 4\(x\)² + 10\(x\) =
d) 6\(x\)² − 9\(x\) =
e) \(x\)² + 4\(x\) =
f) 10\(x\)² − 15\(x\) =
Cas 3 / 4
💡 Facteur commun expression (somme) :
On repère l'expression commune dans les deux termes :
(\(x\)+5)(7\(x\)−1) + (4\(x\)+2)(7\(x\)−1)
= (7\(x\)−1) [ \(x\)+5 + 4\(x\)+2 ]
= (7\(x\) − 1)(5\(x\) + 7)
→ On met le facteur commun devant, on additionne le reste entre crochets.
On repère l'expression commune dans les deux termes :
(\(x\)+5)(7\(x\)−1) + (4\(x\)+2)(7\(x\)−1)
= (7\(x\)−1) [ \(x\)+5 + 4\(x\)+2 ]
= (7\(x\) − 1)(5\(x\) + 7)
→ On met le facteur commun devant, on additionne le reste entre crochets.
Factorise :
a) (\(x\)+3)(2\(x\)+1) + (4\(x\)−5)(2\(x\)+1) =
b) (3\(x\)+2)(5\(x\)−4) + (7\(x\)+1)(5\(x\)−4) =
c) (6\(x\)−1)(\(x\)+4) + (2\(x\)+9)(6\(x\)−1) =
d) (4\(x\)+7)(3\(x\)−2) + (5\(x\)−3)(4\(x\)+7) =
Cas 4 / 4
💡 Attention au signe − et au carré :
Avec un − entre les deux termes : les signes changent dans le crochet !
(3\(x\)−4)(\(x\)+6) − (3\(x\)−4)(8\(x\)−2)
= (3\(x\)−4) [ \(x\)+6 − (8\(x\)−2) ]
= (3\(x\)−4) [ \(x\)+6 −8\(x\) +2 ]
= (3\(x\) − 4)(−7\(x\) + 8)
Avec un carré : (a)² = (a)(a), puis on factorise normalement.
(9\(x\)+2)² + (3\(x\)+1)(9\(x\)+2)
= (9\(x\)+2)(9\(x\)+2) + (3\(x\)+1)(9\(x\)+2)
= (9\(x\) + 2)(12\(x\) + 3)
Avec un − entre les deux termes : les signes changent dans le crochet !
(3\(x\)−4)(\(x\)+6) − (3\(x\)−4)(8\(x\)−2)
= (3\(x\)−4) [ \(x\)+6 − (8\(x\)−2) ]
= (3\(x\)−4) [ \(x\)+6 −8\(x\) +2 ]
= (3\(x\) − 4)(−7\(x\) + 8)
Avec un carré : (a)² = (a)(a), puis on factorise normalement.
(9\(x\)+2)² + (3\(x\)+1)(9\(x\)+2)
= (9\(x\)+2)(9\(x\)+2) + (3\(x\)+1)(9\(x\)+2)
= (9\(x\) + 2)(12\(x\) + 3)
Factorise :
a) (5\(x\)+3)(\(x\)+2) − (5\(x\)+3)(4\(x\)−1) =
b) (2\(x\)−7)(3\(x\)+5) − (2\(x\)−7)(6\(x\)−1) =
c) (4\(x\)+1)² + (2\(x\)−3)(4\(x\)+1) =
d) (7\(x\)−3)² − (7\(x\)−3)(2\(x\)+5) =
🧑🏫
5 exercices — Factoriser des expressions — 3ème
Facteur commun simple, facteur commun composé, identités remarquables, et mélange. Clique sur "Voir la correction" pour afficher la correction détaillée.
Exercice 1 — Facteur commun simple : ka + kb = k(a + b)
Factorise les expressions suivantes.
A)3𝒙 + 6
B)5𝒙 − 15
C)4𝒙² + 8𝒙
D)6𝒙² − 9𝒙
E)12𝒙 + 8
F)−10𝒙² + 15𝒙
💡 k×a + k×b = k(a + b) — repère le facteur commun k dans chaque terme
A) 3𝒙 + 3×2
Facteur commun : 3
A = 3(𝒙 + 2)
B) 5𝒙 − 5×3
Facteur commun : 5
B = 5(𝒙 − 3)
C) 4𝒙×𝒙 + 4𝒙×2
Facteur commun : 4𝒙
C = 4𝒙(𝒙 + 2)
D) 3𝒙×2𝒙 − 3𝒙×3
Facteur commun : 3𝒙
D = 3𝒙(2𝒙 − 3)
E) 4×3𝒙 + 4×2
Facteur commun : 4
E = 4(3𝒙 + 2)
F) 5𝒙×(−2𝒙) + 5𝒙×3
Facteur commun : 5𝒙
F = 5𝒙(−2𝒙 + 3)
Exercice 2 — Facteur commun composé
Factorise en mettant en évidence le facteur commun.
A)3(𝒙 + 2) + 5(𝒙 + 2)
B)𝒙(𝒙 − 4) + 7(𝒙 − 4)
C)2𝒙(3𝒙 + 1) − 5(3𝒙 + 1)
D)(𝒙 + 3)² − 4(𝒙 + 3)
E)𝒙(2𝒙 − 3) + (2𝒙 − 3)
F)4(𝒙 − 1) − 𝒙(𝒙 − 1)
💡 Le facteur commun est une expression entière — repère ce qui est identique dans les deux termes
A) 3(𝒙 + 2) + 5(𝒙 + 2)
Facteur commun : (𝒙 + 2)
A = (𝒙 + 2)(3 + 5)
A = 8(𝒙 + 2)
B) 𝒙(𝒙 − 4) + 7(𝒙 − 4)
Facteur commun : (𝒙 − 4)
B = (𝒙 − 4)(𝒙 + 7)
C) 2𝒙(3𝒙 + 1) − 5(3𝒙 + 1)
Facteur commun : (3𝒙 + 1)
C = (3𝒙 + 1)(2𝒙 − 5)
D) (𝒙 + 3)² − 4(𝒙 + 3)
Facteur commun : (𝒙 + 3)
D = (𝒙 + 3)(𝒙 + 3 − 4)
D = (𝒙 + 3)(𝒙 − 1)
E) 𝒙(2𝒙 − 3) + 1×(2𝒙 − 3)
Facteur commun : (2𝒙 − 3)
E = (2𝒙 − 3)(𝒙 + 1)
F) 4(𝒙 − 1) − 𝒙(𝒙 − 1)
Facteur commun : (𝒙 − 1)
F = (𝒙 − 1)(4 − 𝒙)
Exercice 3 — Identités remarquables : a² − b² = (a + b)(a − b)
Factorise en utilisant la différence de deux carrés.
A)𝒙² − 9
B)𝒙² − 25
C)4𝒙² − 1
D)9𝒙² − 16
E)𝒙² − 49
F)25𝒙² − 4
💡 a² − b² = (a + b)(a − b) — identifie a = √(1er terme) et b = √(2e terme)
A) 𝒙² − 9
a = 𝒙 | b = 3
A = (𝒙 + 3)(𝒙 − 3)
B) 𝒙² − 25
a = 𝒙 | b = 5
B = (𝒙 + 5)(𝒙 − 5)
C) 4𝒙² − 1
a = 2𝒙 | b = 1
C = (2𝒙 + 1)(2𝒙 − 1)
D) 9𝒙² − 16
a = 3𝒙 | b = 4
D = (3𝒙 + 4)(3𝒙 − 4)
E) 𝒙² − 49
a = 𝒙 | b = 7
E = (𝒙 + 7)(𝒙 − 7)
F) 25𝒙² − 4
a = 5𝒙 | b = 2
F = (5𝒙 + 2)(5𝒙 − 2)
Exercice 4 — Mélange : choix de la méthode
Factorise chaque expression en choisissant la bonne méthode.
A)3𝒙² + 6𝒙
B)𝒙² − 36
C)5𝒙(𝒙 + 2) + 3(𝒙 + 2)
D)16𝒙² − 9
A) 3𝒙² + 6𝒙
💡 Facteur commun simple
A = 3𝒙×𝒙 + 3𝒙×2
Facteur commun : 3𝒙
A = 3𝒙(𝒙 + 2)
B) 𝒙² − 36
💡 Différence de deux carrés : a² − b²
B = 𝒙² − 6² → a = 𝒙, b = 6
B = (𝒙 + 6)(𝒙 − 6)
C) 5𝒙(𝒙 + 2) + 3(𝒙 + 2)
💡 Facteur commun composé
C = (𝒙 + 2)(5𝒙 + 3)
C = (𝒙 + 2)(5𝒙 + 3)
D) 16𝒙² − 9
💡 Différence de deux carrés : a² − b²
D = (4𝒙)² − 3² → a = 4𝒙, b = 3
D = (4𝒙 + 3)(4𝒙 − 3)
Exercice 5 — Programme de calcul et factorisation
🖩 Programme de calcul P :
① Choisir un nombre
② Mettre ce nombre au carré
③ Ajouter 4 fois le nombre choisi au départ
④ Soustraire le carré du nombre choisi au départ
⑤ Ajouter 12
① Choisir un nombre
② Mettre ce nombre au carré
③ Ajouter 4 fois le nombre choisi au départ
④ Soustraire le carré du nombre choisi au départ
⑤ Ajouter 12
A)Applique le programme pour 𝒙 = 4. Montre chaque étape.
B)Exprime P(𝒙) en développant et réduisant.
C)Factorise P(𝒙).
D)Calcule P(−1) avec la forme développée puis avec la forme factorisée. Compare.
A) Application pour 𝒙 = 4
① Nombre de départ : 4
② Mettre au carré : 4² = 16
③ Ajouter 4 fois le départ : 16 + 4×4 = 16 + 16 = 32
④ Soustraire le carré du départ : 32 − 4² = 32 − 16 = 16
⑤ Ajouter 12 : 16 + 12 = 28
P(4) = 28
B) Expression développée de P(𝒙)
① Nombre de départ : 𝒙
② Mettre au carré : 𝒙² = 𝒙²
③ Ajouter 4 fois le départ : 𝒙² + 4×𝒙 = 𝒙² + 4𝒙
④ Soustraire le carré du départ : 𝒙² + 4𝒙 − 𝒙² = 4𝒙
⑤ Ajouter 12 : 4𝒙 + 12 = 4𝒙 + 12
P(𝒙) = 4𝒙 + 12
C) Factorisation de P(𝒙) = 4𝒙 + 12
P(𝒙) = 4×𝒙 + 4×3
Facteur commun : 4
P(𝒙) = 4(𝒙 + 3)
D) Calcul pour 𝒙 = −1 — comparaison des deux formes
Forme développée : 4𝒙 + 12
P(−1) = 4×(−1) + 12
P(−1) = −4 + 12
P(−1) = 8
Forme factorisée : 4(𝒙 + 3)
P(−1) = 4×((−1) + 3)
P(−1) = 4×2
P(−1) = 8
✅ Les deux formes donnent P(−1) = 8.
C'est une vérification que la factorisation est correcte.
C'est une vérification que la factorisation est correcte.